Пропорция

 

Прямая пропорциональнность - величины называются прямо пропорциональными, когда при увеличении одной из них в какое-то количество раз, в это же количество раз увеличивается и другая. Аналогично при уменьшении одной из величин в какое-то количество раз, вторая уменьшается во столько же.

Например:

$�=��$

где S – расстояние, v – скорость, t – время.

Представим, что скорость у нас всегда равна 5 км/ч. Тогда будем изменять только расстояние и время:

- Если время равно 1 ч, то расстояние будет равным:

$�=5\bullet 1=5$

- Увеличим время в 3 раза, получим, что время равно 3 ч, а расстояние:

$�=5\bullet 3=15$

Видим, что расстояние тоже увеличилась в 3 раза.

Тогда мы говорим, что в выражении $�=��$ величины S и t – прямо пропорциональные.

Аналогично можем поступить с расстоянием и скоростью, если время будет постоянной величиной. Расстояние и время, расстояние и скорость – прямо пропорциональные между собой, потому что имеют один вид. Такая формула называется – формулой прямой пропорциональности:

$�=��$

где $�,�$ – переменные пропорциональные величины, а $�$– коэффициент пропорциональности

Если выразим k, получим, что:

$�=\frac{�}{�}$

В таком случае коэффициент k будет одинаков при любых значениях переменных, если они прямо пропорциональны.

ОБРАТНАЯ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ:

Величины называются обратно пропорциональными, если при увеличении одной из них в какое-то количество раз, вторая в это же количество раз уменьшается. И наоборот, если одна из величин в какое-то количество раз уменьшается, то вторая в это же количество раз увеличивается.

Например:

$�=��$

где S – расстояние, v – скорость, t – время.

Представим, что расстояние у нас всегда равно 60 км. Тогда будем изменять только скорость и время. Выразим, например, скорость:

$�=\frac{�}{�}$

- Если время равно 1 ч, то скорость будет равна:

$�=\frac{60}{1}=60$

- Увеличим время в 2 раза, то время будет равно 2 ч, а скорость:

$�=\frac{60}{2}=30$

Видим, что при увеличении времени в 2 раза, скорость в 2 раза уменьшилась. Такие величины, как скорость и время в данном выражении, называются обратно пропорциональными.

Общая формула обратной пропорциональности выглядит так:

$�=\frac{�}{�}$

А коэффициент обратной пропорциональности находится перемножением обратно пропорциональных величин:

$�=�\bullet �$

В таком случае коэффициент k будет одинаков при любых значениях переменных, если они обратно пропорциональны.

ПРОПОРЦИЯ:

Пропорция – это выражение, описывающее равенство отношений двух величин.

То есть, если $\frac{�}{�}=�$ и $\frac{�}{�}=�$, то пропорцией будет являться выражение:

$\frac{�}{�}=\frac{�}{�}=�$

где $�$ – коэффициент пропорциональности данной пропорции. Обычно пропорцию записывают без коэффициента в виде:

$\frac{�}{�}=\frac{�}{�}$

Числа a и d – крайние члены пропорции, а b и с – средние

Это легко запомнить, если записать пропорцию в строчку:

$�:�=�:�$

Сразу видно, что a и d находятся по краям, а b и с – посредине

Свойство пропорции:

Если помножить обе части пропорции на $\text{bd}$, то мы получим:

$\frac{�}{�}\bullet \text{bd}=\frac{�}{�}\bullet ��$

$��=��$

Это и есть свойство пропорции – произведение крайних членов пропорции равно произведение средних членов. Еще такое равенство произведений называют умножением крест-накрест.

Чтобы проверить, является ли выражение пропорцией – используют свойство или коэффициент пропорции.

Пример №1:

Проверим, является ли пропорцией:

$\frac{0,1}{0,175}=\frac{4}{7}$

Используем свойство пропорции, т.к. найти коэффициент пропорции будет затруднительно:

$0,1\bullet 7=4\bullet 0,175$

$0,7=0,7$

Значит данное выражение является пропорцией.

Пример №2:

Проверим, является ли пропорцией:

$\frac{4}{0,2}=\frac{95}{5}$

Используем коэффициент пропорции. Он должен быть равен для двух дробей, если выражение является пропорцией:

$\frac{4}{0,2}=\frac{40}{2}=20$

$\frac{95}{5}=19$

$20\mathrm{\ne }19$

Значит данное выражение НЕ является пропорцией.